Написание букв на месте безударных гласных в корнях устанавливается формами проверяемого слова либо однокоренными словами или их формами, в которых проверяемый гласный находится под ударением1.
В слове «больно́й»2 безударная гласная о проверяется однокоренным словом «боль».
1 См. § 34 Правил русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под. ред. В.В. Лопатина. — М.: АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2014. — 432 с.
2 Проверяемая гласная выделяется зелёным цветом с нижним подчёркиванием.
больной, больная, больное; болен, больна, больно.
1. Страдающий какой-нибудь болезнью, нездоровый; пораженный болезнью. Больной старик. Больная лошадь. Психически больная женщина. Больные почки. Больной палец.
| перен. Негодный к употреблению, нуждающийся в ремонте (спец.). Больные вагоны.
2. в знач. сущ. больной, больного, муж., больная, больной, жен. Больной человек. Навестить больного, больную.
| Пациент, пациентка. Мой больной (в устах врача).
• больное место - 1) часть тела, прикосновение к которой вызывает болезненное ощущение; 2) перен. - о всем наиболее уязвимом для кого-нибудь, болезненно переживаемом. Постоянные долги - мое больное место, недостаток образования - его больное место. Больной вопрос (книж., газет.) - назревшая, но трудная для разрешения задача.