Значения слова интеграл

интеграл, интеграла, муж. (от лат. integer - целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее - к диференциалу.

Латинское – integralis, integer (целый, полный).

В русском языке слово «интеграл» как математический термин появилось в 50–70-х гг. XVIII в. из французского языка. Впервые его ввел в обиход швейцарский математик Я. Бернулли, опираясь на латинское существительное.

Производные: интегральный, интегрировать, интеграция.

ИНТЕГРАЛ [тэ], а, м. В математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.

| прил. интегральный, ая, ое. Интегральное исчисление.

м.
Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.

м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать, вычислять, находить интеграл; интеграция ж. действие это.

(от лат. integer ≈ целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой ≈ измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления . Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного ≈ функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом: функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый И. Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность где F(x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f (x) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками в каждом отрезке [xi≈1, xi] (i = 1, 2,..., n) берут произвольную точку xi (xi≈1 £ xi £xi) и образуют сумму Сумма Sn зависит от выбора точек xi и xi. Однако в случае непрерывной функции f (x) суммы Sn, получающиеся при различном выборе точек xi и xi, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей xi ≈ xi≈1 стремится к нулю при n ╝ ¥. Этот предел и является определённым интегралом По определению, Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде где а ≈ произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление . Обобщение понятия интеграла Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом предел сумм Sn при max(xi≈ xi≈

1. ╝ 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (190

2. , пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория ). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x) ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a, b] точек разрыва функции f (x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

   Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(x) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

   Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (

3. Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

   где Mk ≈ верхняя грань функции f (x) на отрезке [xk≈1,xk], а mk ≈ нижняя грань f (x) на том же отрезке. Если ═нижняя грань сумм , а ═≈ верхняя грань сумм , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие ═Общее значение ═величин ═и ═и является интегралом Римана (6). Сами величины ═и ═называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

   Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

   ... < y-2 < y-1 < y0 < y-1 < ... < yi <...

   область возможных значений переменного у = f (x) и обозначает Mi множество тех точек х из отрезка [a, b], для которых

   yi≈1 £ f (x) < yi. Сумма S определяется равенством

   S = Si hi m(Mi),

   где hi берётся из отрезка yi≈1 £ hi < yi, а m(Mi) обозначает меру множества Mi. Функция f (x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max(yi ≈ yi≈1) ╝ 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x), удовлетворяющую равенству (

4. , где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

   Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f (x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

   Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

   После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .

   Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера ≈ Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

   для которого

   представляет функцию f (x), порождающую коэффициенты an и bn по формулам

   где И. понимаются в смысле Лебега.

   Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f (x) ≈ непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [a, b], и U(x) ≈ определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a, b] и составляют сумму

   f (x1) [U(x1) ≈ U(x0)] + f (x2) [U(x2) ≈ U(x1)] +...+ f (xn) [U(xn) ≈ U(xn≈1)],══(8)

   где x1, x2, ..., xn ≈ произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn≈1, xn]. Пусть d ≈ наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x1, x2, ..., xn на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x) относительно функции U(x) и обозначают символом

   Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U1(x) и U2(x):

   U(x) = U1(x) ≈ U2(x),

   т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ).

   Если интегрирующая функция U(х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

   В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

   Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х ≈ пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m ≈ конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции у = f (x), хÎХ, принимающей конечное или счётное число значений y1, y2, ..., yn, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A1, ..., Аn, ..., сумма которых есть X, интеграл функции f (x) по мере m, обозначаемый

   ,

   определяется как сумма ряда

   в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

   Пусть А ≈ измеримое множество и jА(х) = 1 для х, принадлежащих А, и jА(х) = 0 для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f (x) по множеству А определяют, полагая

   При фиксированных m и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.

   Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

   Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

   ,

   когда a < c < b, как предел выражения

   ,

   при e1 ╝ 0 и e2 ╝ 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

   определяется как предел И.

   ,

   при а ╝ ≈ ¥ и b ╝ + ¥. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x)|, т. е. f (x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

   Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (191

5. .

   Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.≈Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега ≈ Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. ≈ Hdlb. ≈ N. Y., 1969.

   Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.