способ заполнения недостающих членов какого-либо статистического ряда; предпосылкой к применению этого способа является допущение, что то строение ряда, которое может быть установлено на основании соотношения известных составных частей (членов) его, распространяется и на неизвестные члены его. Напр. установлена следующая последовательность в движении цен за неделю:
На основании сопоставления известных величин за периоды, смежные с тем периодом, в отношении которого цена неизвестна, устанавливается их численное соотношение, в данном случае выражающееся в том, что цена в течение первых четырех дней повышалась на 10 %; таким образом определяется и неизвестная цена = 121 (ср. экстраполяция).
Syn: интерполяция
ср.
Процесс действия по знач. несов. глаг.: интерполировать.
в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b''' = а" — а''', b" = а' — а"... с" = b" — b"'...
Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:
Формула Ньютона.
a = ao + {(b' + b1)/2 — 1/6[(d' + d1)/2] +...}n + {co/2 — eo/24 +...}n2 + {1/6[(d' + d1)/2] —...}n3 +...
Формула Бесселя.
a = ao + nb1 + [n(n — 1)/1.2].[(co + c1)/2] + [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d1 + [(n + 1).n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].[(eo + e1)/2] +...
Формула Стирлинга.
a = ao + [(b' + b1)/2]n + co(n2/1.2) + [(d' + d1)/2].[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3] + eo[(n — 1)n2(n + 1)/1.2.3.4] + ...
Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.
Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58'59,4".
Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = ao + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.
При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a0)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.
Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х 1, х 2..... хп, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:
F(x) = U1{[(x — x2)(x — x3) ... (x — xn)]/[(x — x2)(x1 — x3) ... (x1 — xn)]} + U2{[(x — x1)(x — x3)... (x — xn)]/[(x2 — x1)(x2 — x3) ... (x2 — xn)]} +... + Un{[(x — x1)(x — x2) ... (x — xn-1)]/[(xn — x1)(xn — x2) ... (xn — xn-1)]} +...
где U1 = F(x1), U2 = F(x2) ... Un = F(xn).
Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.
Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.
Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.
В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.
B. Витковский.