Написание букв на месте безударных гласных в корнях устанавливается формами проверяемого слова либо однокоренными словами или их формами, в которых проверяемый гласный находится под ударением1.
В слове «телятник»2 1-я безударная гласная е проверяется однокоренным словом «тёлка».
1 См. § 34 Правил русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под. ред. В.В. Лопатина. — М.: АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2014. — 432 с.
2 Проверяемая гласная выделяется зелёным цветом с нижним подчёркиванием.
телятник, телятника, муж.
1. Хлев, закута для телят.
2. Работник, приставленный для ухода за телятами.
3. Торговец телятами.